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倍立方體問題
  倍立方體問題(problem of duplication of a cube )是二千四百年前古希臘人提出的幾何三大作圖問題之一 。問題是指求作一立方體使其體積等於已知立方體體積的兩倍。本題難解的原因在於作圖工具上有所限制,古希臘 人強調幾何作圖只能用直尺(沒有刻度,只能作直線的尺)和圓規。
  
  倍立方體問題的實質就是用尺規作圖的方法求作線段 3√2,許多數學家為解決這個著名問題而耗費了不少精力 ,但無一取得成功。法國數學家笛卡兒就是最早公開申明尺規不能作3√2線段的,1637年他提出一個問題:非立方有理數的方根一般不能簡化為有限次的開平立方運算。至1837年法國數學家凡齊爾(1814-1848)首次運用了代數的方法嚴格證明了這個問題是 尺規作圖不可能的,至此這個才算獲得解決。但由於對它的研究,使人們發現了一些特殊的曲線,如圓錐曲線、蚌 線、蔓葉線等,促進了圓錐曲線理論的建立和發展。人們還發現,只要不受尺規作圖工具的約束,倍立方體的問題 是可以解決的。


阿基米德群牛問題
  公元前3世紀下半葉古希臘科學家阿基米 德在論著《群牛問題》中記載了本問題。原文用詩句寫成,大意是:西西里島草原上有一大 群牛,公牛和母牛各有4種顏色。設W、X、Y、Z分別表示白、黑、黃、花色的公牛數, w、x、y、z分別表示這白、黑、黃、花色的母牛數。要求有W=(1/2+1/3)X +Y,X=(1/4+1/5)Z+Y,Z=(1/6+1/7)W+Y,w=(1/3+ 1/4)(X+x),x=(1/4+1/5)(Z+z),z=(1/5+1/6)(Y +y),y=(1/6+1/7)(W+w),(W+X)為一個正方形(數),(Y+Z )為一個三角數(即m(m+1)/2,m為正數)。求各種顏色牛的數目。最後兩個條件 中的正方形數有兩種解釋:一種是W+X=mn,(因為牛的身長與體寬不一樣,排成正方 形後兩個邊牛的數目不一樣)稱為「較簡問題」,求解後牛的總數近6萬億,另一種為W+ X=n2(長與寬的數目相等),稱為「完全問題」。即使沒有最後兩個條件,群牛問題的最 小正數解也達幾百萬到上千萬。
  1880年阿姍托爾提供了一種解答,導 致二元二次方程t2-du2=1,因d的值達400多萬億,所以完全問題的最小解中牛的總數已超 過20多萬位的數。可見阿基米德當時未必解出過這個問題,而它的敘述與實際也不符。歷 史上對這問題的研究豐富了初等數論的內容。


柯克曼女生問題 
  英國數學家柯克曼於1850年提出一個問題:某學生宿舍共有十五名女生,每天三人一組進行散步,問怎樣安排,才能使每位女生有機會與其他每一位女生在同一組中散步,並恰好每星期一次。柯克曼女生問題(Kirkman's girl student problem)提出後得到多種解答,其中較有代表性的答案是皮爾斯於1860年左右提出 ,並被數學家西爾威特認為是最好的解法。皮爾斯先假定一位女生固定在某一組,再將其他十四位女生編上號碼(1至14號),並按照一定規律安排星期天的分組散步,則其他六天星期 r散步(r=1,2,3,4,5,6)分組可按原編號與r的數字之和安排(和數超過14則減去14)。
 
另外,有些數學家更將問題擴展成組合論中的難題:設有N個元素,每三個一組分成若干組。這些組分別組成一個系列,現稱為柯克曼序列。若每一元素與其他元素恰有一次同組的機會,問將N分成這種序列要滿足的充分必要條件是什麼?怎樣組成此序列?在女生問題中,序列數為7,N=15是適合條件的數。但N的一般解答直到二十世紀六十年代後才有突破。中國數學家陸家羲對此曾作出過重要的貢獻 。


合理分配賭注問題
  合理分配賭注問題(problem of rational division of stakes)被認為是概率論的科學起源,一 般表述為:一場賭博因故中斷,已知兩個賭者當時的賭分及贏得賭博所需點數,求賭金該如 何分配。問題亦稱「點的問題」或「得分問題」。
  最早於1494年由意大利數學家帕喬利 提出,16世紀中期的卡爾達諾和塔爾塔利亞等人也討論過這類問題。17世紀中葉法國人 梅雷向數學家帕斯卡重提這類問題,引起帕斯卡與另一數學家費馬在1654年7月至10 月間的通信討論,數學史上稱這些通信為最早的概率論文獻。

  他們研究的問題有:兩個賭徒各出32個 金幣,約定先贏三局為勝。如果其中甲贏了二局,乙贏了一局時中斷,賭金如何分配;如果 甲贏了二局,乙一局未贏或甲贏了一局,乙一局未贏時,賭金又如何分配。帕斯卡用純算術 的方法,費馬則用組合方法都得到正確解答。費馬區分了獨立概率事件和條件概率事件,還 討論了某一賭徒在第一次輪到他擲骰子時不擲讓出而應該得到的賭金比例,甚至應用了n重 伯努利試驗的思想。帕斯卡則進一步提出了三個賭徒間分配賭金的問題。1657年荷蘭科 學家惠更斯在此基礎上潛心鑽研,寫成了《論賭博中的計算》一書,第一次提出數學期望的 概念,成為概率論的較早論著。到1713年雅各布.伯努利的《猜度術》出版後,概率論 已成為數學科學的一個分支了。


阿波羅尼奧斯問題
  求作一圓與3個已知圓相切,常稱為阿波羅尼奧斯問題( Apollonius' problem)。據說阿波羅尼奧斯本人解決了問題,可惜結果沒有流傳下來。
  1600年法國數學家韋達在一篇論著中 應用了兩個圓相似中心的歐幾里得解法,通過對每一種特殊情況的討論,嚴格陳述了該問題 的解。後來牛頓、蒙日、高斯等許多數學家都對這一問題進行過研究,得到多種解決方法。 其中以法國數學家熱爾崗約於1813年給出的解法較有代表性。以上所說都是通常的尺規 作圖法。如果放寬作圖條件限制,則有多種簡捷的解法。


費瑪最後定理
這本是一個猜想, 最近已變成定理. 那就是 xn+yn=zn 在自然數 n>2 的情形下, 沒有自然數解. 請見數學史費瑪系列, 至於 n=2 的情形, 則是畢達哥拉斯數, 此時不僅有無限多組解, 我們也可以將這些解完全找到.見小專題畢達哥拉斯數.


角谷猜想
任找一個自然數, 如果這一個數是奇數, 我們將其乘以 3 加 1, 如果是偶數, 則除以 2, 重複上面的步驟, 不管從那一個自然數開始, 其結論都是 1.
例子: 由 3 開始, 則 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1.


哥德巴赫猜想
任何一個大於 3 得合數都可以寫成兩個質數的和嗎?
例如: 4=2+2, 6=3+3, 8=3+5, 9=2+7, 10=5+5=3+7, 12=5+7,
至今尚無法證明是正確的? 或找出錯誤的例子.


化圓為方
  幾何三大作圖問題之一 。方圓的問題與提洛斯問題是同時代的,由希臘人開始研究。有名的阿基米得把這問題化成下述的形式:已知一圓的半徑是r,圓周就是2πr,面積是πr2。由此若能作一個直角三角形,其夾直角的兩邊長分別為已知圓的周長2πr及半徑r,則這三角形的面積就是(1/2)(2πr)(r)=πr2
與已知圓的面積相等。由這個直角三角形不難作出同面積的正方形來。但是如何作這直角三角形的邊。即如何作一線段使其長等於一已知圓的周長,這問題阿基米德可就解不出了。

三等分角
幾何三大作圖問題之一 。三等分任意角的題也許比那兩個問題出現更早,早到歷史上找不出有關的記載來。但無疑地它的出現是很自然的,就是我們自己在現在也可以想得到的。紀元前五、六百年間希臘的數學家們就已經想到了二等分任意角的方法,正像我們在幾何課本或幾何畫中所學的:以已知角的頂點為圓心,用適當的半徑作弧交角兩的兩邊得兩個交點,再分別以這兩點為圓心,用一個適當的長作半徑畫弧,這兩弧的交點與角頂相連就把已知角分為二等分。二等分一個已知角既是這麼容易,很自然地會把問題略變一下:三等分怎麼樣呢?這樣,這一個問題就這麼非常自然地出現了。


四色定理
四色猜想,若在地圖上上色,且相鄰區塊不能同色,則最多用4種顏色就可塗出,已在1972年,黑肯和阿佩爾(Kenneth Appel)設計了一份計算程序,他們確定了一些細節,設計了適當的程序,利用三部電腦,運行了1200多個小時,最後找出2000多個構形需要用機器分析其可約性。由這些圖便能證明這個「四色猜想」,將之變為「四色定理」,解決了這個困擾許多數學家一百多年的難題。這個「四色定理」也是首個倚靠機器來證明的重要數學定理,因此很難由其他數學家直接檢證,所以初時數學家也對此有所懷疑。雖然如此,但在1977年的兩篇有關的論文卻已能說服所有人這個四色定理的真確性。
最後由 大地旅法師 於 2003-07-29 8:44 PM 編輯,總共編輯了 1 次。
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只要能證出某個猜想使之變為定理

大概就可得諾貝爾獎了
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moon2003
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所以說諾貝爾獎不是那麼好拿滴...
檻菊愁煙蘭泣露。羅幕清寒,燕子雙飛去。明月不諳離恨苦,斜光到曉穿朱戶。
昨夜西風凋碧樹。獨上高樓,望盡天涯路。欲寄彩箋兼尺素,山長水闊知何處。
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helldeathscyt
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Re: [轉貼][討論][問題]幾個我找到的世界難題

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大地旅法師 寫:費馬最後定裡
這本是一個猜想, 最近已變成定理. 那就是 xn+yn=zn 在自然數 n>2 的情形下, 沒有自然數解. 請見數學史費瑪系列, 至於 n=2 的情形, 則是畢達哥拉斯數, 此時不僅有無限多組解, 我們也可以將這些解完全找到.見小專題畢達哥拉斯數.
x的n次方+y的n次方=z的n次方
他打錯了
吾乃地獄之王,是為散播毀滅的種子,掃除所有塵世汙穢,平息痛苦之哀號
~地獄死神

白目橫行的時代...orz
網路真奇妙,
處處白目擾,
趕也趕不走,
白目死不了.
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有誰看得懂群牛問題啊..?

不怎麼了解..?(雖然是我轉貼的)
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咦…真的好奇怪ㄛ…「較簡問題」裡,牛的長寬比怎麼決定的丫
另外,那個阿姍托爾的方程式又是什麼丫
我還有兩個問題…非質數的數是統稱合數ㄇ
四色定理我也看不懂…地圖是一般地圖ㄇ…那又是怎麼分割的ㄋ
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Guard 寫:四色定理我也看不懂…地圖是一般地圖ㄇ…那又是怎麼分割的ㄋ
隨便找一張地圖,以國界區分或縣界,將土地分塊,為了區分塗上不同的顏色
相鄰不同色,海也要算一種顏色,如此,有人發現只要4個顏色就可以畫完

任何地圖都可以,分割也隨便割,只要相鄰不同色,4個顏色就可以全部畫完
吾乃地獄之王,是為散播毀滅的種子,掃除所有塵世汙穢,平息痛苦之哀號
~地獄死神

白目橫行的時代...orz
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希臘流傳下三個粉困難的尺規作圖的問題1.化圓為方(將一個圓面積不改變下用尺規作圖的方式作出一個正四邊形).2.用尺規作圖的方式作出2的3分之1次方.3.用尺規作圖的方式將任意角三等份.
>
原因是 尺規作圖 一定要同等於一種多項是方程式
若解是超越數 則不可能畫出來
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moon2003
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文章 moon2003 »

大地旅法師 寫:只要能證出某個猜想使之變為定理

大概就可得諾貝爾獎了
等等,我現在才想到:諾貝爾有數學獎嗎?
檻菊愁煙蘭泣露。羅幕清寒,燕子雙飛去。明月不諳離恨苦,斜光到曉穿朱戶。
昨夜西風凋碧樹。獨上高樓,望盡天涯路。欲寄彩箋兼尺素,山長水闊知何處。
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哈哈,我也不知道
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對了

聽說所有的尺規做圖都可以只用圓規做出

也可以只用直尺做出

最近在研究只用固定半徑的圓規劃圖
Steven
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[建議].............

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moon2003 寫:
大地旅法師 寫:只要能證出某個猜想使之變為定理

大概就可得諾貝爾獎了
等等,我現在才想到:諾貝爾有數學獎嗎?
No!
諾貝爾獎沒有數學獎!
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大地旅法師
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文章 大地旅法師 »

抱歉..

當個比喻吧
Steven
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[閒聊]因為...

文章 Steven »

因為當初好像諾貝爾的老婆
是被數學家拐跑的,
所以沒有數學獎!
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moon2003
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文章 moon2003 »

這...似乎是謠言吧?
檻菊愁煙蘭泣露。羅幕清寒,燕子雙飛去。明月不諳離恨苦,斜光到曉穿朱戶。
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