[討論] sin18度=？
發表於 : 2004-08-30 12:13 PM
我想破頭也想不出來要怎麼算…
就我所知的三角公式好像都無法解…
偏偏又常遇到要用sin18度…
而且該題目的解答都直接說sin18度=4分之根號5減一(還是加一我忘了…)
都沒有說為什麼會這樣…
就我所知的三角公式好像都無法解…
偏偏又常遇到要用sin18度…
而且該題目的解答都直接說sin18度=4分之根號5減一(還是加一我忘了…)
都沒有說為什麼會這樣…
方法一
先作一個 36°-72°-72° 的三角形ABC，∠A=36°
作角B(72° )平分線交AC於D
設AB長=1，BD長=x
由角度關係可知AD=BD=BC=x，CD=1-x
易證：△ABC~△BCD(AA相似)
x/(1-x)=1/x
解之得x=(√5-1)/2
又根據餘弦：BC^2=Ab^2+AC^2-2*AB*AC*cos∠A
x^2=1+1-2cos36°=((√5-1)/2)^2=(3-√5)/2
算出cos36°=(√5+1)/4，再用二倍角公式算得cos72°=sin18°=(√5-1)/4
方法二
sin36°
=2sin18°cos18°
sin36°
=sin(90°-54°)
=sin90°cos54°-cos90°sin54°
=cos54°
=4(cos18°)^3-3cos18°
2sin18°cos18°=4(cos18°)^3-3cos18°
cos18°(4(cos18°)^2-3-2sin18°)=0
4(1-sin18°^2)-2sin18°-3=0
4(sin18°)^2+2sin18°-1=0
解之得sin18°=(√5-1)/4