Mowd 與你的交流天地

1/1,3/4,11/15,41/56,153/209.........
(1)求下一項：
(2)求此數列的收斂值：

由觀察得:1/1 =1/1..............A1
(4-1)/4 =3/4..............A2
(15-4)/15 =11/15...........A3
(56-15)/56 =41/56...........A4
(209-56)/209 =153/209.......A5.....(結論:此數列分子為分母減前一項分母)

設分母為An=1 4 15 56 209.....
則Bn= 3 11 41 153.......(An前後項相減得)
則Cn= 8 30 112..........(Bn前後項相減得)
則Dn= 22 82...............(Cn前後項相減得)

由階差法可推知:An=A1+(B1+B2+B3+...+Bn-1)
因此:Cn=C1+(D1+D2+D3+...+Dn-1)
=8+[22+22+60x(n-2)]x(n-1)/2
=8+22(n-1)+30(n-1)x(n-2)
同理:Bn=B1+(C1+C2+C3+...+Cn-1)
=3+[8+8+22x(n-2)+30x(n-2)x(n-3)]x(n-1)/2
=3+8x(n-1)+11x(n-1)x(n-2)+15x(n-1)x(n-2)x(n-3)
同理:An=A1+(B1+B2+B3+...+Bn-1)
=1+[3+3+8x(n-2)+11x(n-2)x(n-3)+15x(n-2)x(n-3)x(n-4)]x(n-1)/2
=1+3x(n-1)+4x(n-1)x(n-2)+11/2x(n-1)x(n-2)x(n-3)
+15/2x(n-1)x(n-2)x(n-3)x(n-4)
1.求下一項=求A6
A6分母為1+3x5+4x5x4+11/2x5x4x3+15/2x5x4x3x2=1326
A6分子為1326-209=1117
所求A6=1117/1326
2.求此數列的收斂值=求limAn (n-->無限大)
An第n項分母為1+3x(n-1)+4x(n-1)x(n-2)+11/2x(n-1)x(n-2)x(n-3)
+15/2x(n-1)x(n-2)x(n-3)x(n-4)
An第n-1項分母為1+3x(n-2)+4x(n-2)x(n-3)+11/2x(n-2)x(n-3)x(n-4)
+15/2x(n-2)x(n-3)x(n-4)x(n-5)
因此An第n項分子為:An第n項分母-An第n-1項分母(n*3代表n的三次方...類推)
=3x[(n-1)-(n-2)]+4x[(n*2-3n+2)-(n*2-5n+6)]
+11/2x[(n*3-6n*2+11n-6)-(n*3-9n*2+26n-24)]
+15/2x[(n*4+2n*3+35n*2-50n+24)-(n*4-14n*3+71n*2-154n+120)]
=3+4x(2n-4)+11/2x(3n*2+.....)+15/2x(16n*3+.....)
因此limAn=0(因為分子次方皆比分母小....取極限值皆為0)

抱歉 你2題都算錯了喔

錯了..?
但是看起來漫有道理的

其實這個數列的關係很簡單
大家只需仔細看就能發現規則了
分子 分母都和前一項的分子 分母有關
看出規則後
第二小題就差不多能解出來了

呃..請問一下...你適用什ㄇ理論來解這題ㄉ..別說用感覺法..我會昏倒...另外..我理論基礎應該是蠻正確ㄉ...我驗算過好想也沒問題...下星期沒人解出就公佈答案ㄅ..我那題對數下星期也公佈

設分子An=An-1+2*Bn-1
分母Bn=An+Bn-1

An/Bn=(An-1+2*Bn-1)/(An+Bn-1)
=(An-1+2*Bn-1)/ (An-1+3*Bn-1)

分子分母同除以Bn-1
An/Bn=(An-1/ Bn-1+2)/(An-1/ Bn-1+3)

設Xn=An/Bn
則Xn=(Xn-1+2)/(Xn-1+3)

故下一項=571/780

兩分數之差(後項減前項)=-1/Bn*Bn-1
設收斂值X=(X+2)/(X+3)
X^2+2X-2=0
X=-1+根號3(負不合)

不錯 有人答對了